MathLabs

第4問

P1P_1 と P3P_3 を固定する。P2P_2 は P3P_3 を通り P1P3P_1P_3 に垂直な直線上を動く。Pn+1P_{n+1} を、PnP_n から直線 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} へ下ろした垂線の足とする。数列が点 PP に収束することを示し、P2P_2 の動きに伴う PP の軌跡を求めよ。
ステップ 1/5: 入れ子構造と収束を示す
前のステップ次のステップ
PnPn+1Pn+2⊂Pn−1PnPn+1P_nP_{n+1}P_{n+2}\subset P_{n-1}P_nP_{n+1}
詳しい解説

垂足の構成により、各三角形 PnPn+1Pn+2P_nP_{n+1}P_{n+2} は直前の三角形の内部に入る。全て相似で大きさは Pn−1PnPn+1P_{n-1}P_nP_{n+1} に近づくので、入れ子の閉三角形の共通点は一つであり、Pn→PP_n\to P。 PP