MathLabs

第4問

P1P_1 と P3P_3 を固定する。P2P_2 は P3P_3 を通り P1P3P_1P_3 に垂直な直線上を動く。Pn+1P_{n+1} を、PnP_n から直線 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} へ下ろした垂線の足とする。数列が点 PP に収束することを示し、P2P_2 の動きに伴う PP の軌跡を求めよ。
ステップ 4/5: 円上の位置を評価する
前のステップ次のステップ
P3P5=12P1P3sin⁡2∠P1P_3P_5=\frac12P_1P_3\sin2\angle P_1
詳しい解説

P1P2P3P_1P_2P_3 の関係する角を ∠P1\angle P_1 と書くと、構成から P3P5=P3P1sin⁡∠P1cos⁡∠P2=(1/2)P3P1sin⁡2∠P1P_3P_5=P_3P_1\sin\angle P_1\cos\angle P_2=(1/2)P_3P_1\sin2\angle P_1。ゆえに ∣P3P5∣≤P1P3/2|P_3P_5|\le P_1P_3/2 で、P2P_2 を両側へ動かすと両符号が現れる。 ∠P2\angle P_2 P3P_3