MathLabs

第4問

P1P_1 と P3P_3 を固定する。P2P_2 は P3P_3 を通り P1P3P_1P_3 に垂直な直線上を動く。Pn+1P_{n+1} を、PnP_n から直線 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} へ下ろした垂線の足とする。数列が点 PP に収束することを示し、P2P_2 の動きに伴う PP の軌跡を求めよ。
ステップ 5/5: 軌跡の弧を記述する
前のステップ次のステップ
∠XP1Y=2tan⁡−1(1/2),∠XOY=4tan⁡−1(1/2)\angle XP_1Y=2\tan^{-1}(1/2),\qquad\angle XOY=4\tan^{-1}(1/2)
詳しい解説

軌跡は直径 P1P3P_1P_3 の円の弧 XP3YXP_3Y で、XP3=YP3XP_3=YP_3、∠XP1Y=2tan⁡−1(1/2)\angle XP_1Y=2\tan^{-1}(1/2)。OO を P1P3P_1P_3 の中点とすれば中心角は ∠XOY=4tan⁡−1(1/2)\angle XOY=4\tan^{-1}(1/2)。