MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 1998年

問題

  1. 第1問S\mathcal S を、各 AiA_i が {1,2,…,1998}\{1,2,\ldots,1998\} の部分集合である全ての nn 組 (A1,A2,…,An)(A_1,A_2,\ldots,A_n) の集合とする。K∈SK\in\mathcal S に対し f(K)=∣A1∪A2∪⋯∪An∣f(K)=|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n| と置く。∑K∈Sf(K)\sum_{K\in\mathcal S}f(K) を求めよ。解答: 1
  2. 第2問正の整数 aa と bb に対して (36a+b)(a+36b)(36a+b)(a+36b) が 22 のべきになりえないことを示せ。解答: 1
  3. 第3問正の実数 x,y,zx,y,z と w=xyz3w=\sqrt[3]{xyz} に対して、(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥2+2(x+y+z)/w(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)\ge2+2(x+y+z)/w を証明せよ。解答: 1
  4. 第4問三角形 ABC で、D を A からの高さの足とする。D を通る直線上に E, F を AE が BE に垂直、AF が CF に垂直となるように取り、E, F は D と異なるとする。M, N をそれぞれ BC, EF の中点とする。AN が NM に垂直であることを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問n の立方根未満のすべての正整数で n が割り切れるという性質をもつ整数 n の最大値を求めよ。解答: 1