MathLabs

第3問

正の実数 x,y,zx,y,z と w=xyz3w=\sqrt[3]{xyz} に対して、(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥2+2(x+y+z)/w(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)\ge2+2(x+y+z)/w を証明せよ。
ステップ 4/4: 比較を仕上げる
前のステップ次のステップ
3(x+y+z)/w−1=2(x+y+z)/w+(x+y+z)/w−1≥2(x+y+z)/w+23(x+y+z)/w-1=2(x+y+z)/w+(x+y+z)/w-1\ge2(x+y+z)/w+2
詳しい解説

下界を 3(x+y+z)/w−1=2(x+y+z)/w+(x+y+z)/w−13(x+y+z)/w-1=2(x+y+z)/w+(x+y+z)/w-1 と分ける。最後の比が3以上なので 2(x+y+z)/w+22(x+y+z)/w+2 以上となり、要求された右辺である。 (x+y+z)/w≥3(x+y+z)/w\ge3