MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2000年

問題

  1. 第1問xi=i101x_i = \frac{i}{101} に対して、和 S=∑i=0101xi31−3xi+3xi2S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2} を求めよ。解答: 1
  2. 第2問三角形の周上に沿って 99 個の円が配置されており、3つの各辺に 44 個ずつ円が並んでいる（頂点の3つの円は隣り合う辺で共有され、各辺の内部に2つずつ円がある）。このとき、1,2,…,91, 2, \ldots, 9 の数をそれぞれ1つずつこれらの円に書き込み、各円にちょうど1つの数が入るようにして、(i) 三角形の各辺上の4つの数の和がすべて等しく、(ii) 三角形の各辺上の4つの数の2乗の和もすべて等しくなるようにする。このような書き込み方をすべて求めよ。解答: 1
  3. 第3問ABCABC を三角形とする。頂点 AA から引いた中線および角の二等分線が辺 BCBC と交わる点をそれぞれ MM および NN とする。点 NN における NANA の垂線が直線 MAMA および BABA と交わる点をそれぞれ QQ および PP とし、点 PP における BABA の垂線が直線 ANAN の延長と交わる点を OO とする。このとき、QOQO が BCBC に垂直であることを証明せよ。解答: 2
  4. 第4問n,kn, k を n>kn > k を満たす正の整数とする。このとき、1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} が成り立つことを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問列 0,1,…,n0, 1, \ldots, n の順列 (a0,a1,…,an)(a_0, a_1, \ldots, a_n) が与えられている。aia_i と aja_j の互換は、i>0i > 0 に対して ai=0a_i = 0 であり、かつ ai−1+1=aja_{i-1} + 1 = a_j を満たすとき正当（legal）と呼ばれる。順列 (a0,a1,…,an)(a_0, a_1, \ldots, a_n) は、何回かの正当な互換の後に (1,2,…,n,0)(1, 2, \ldots, n, 0) になるとき正則（regular）と呼ばれる。順列 (1,n,n−1,…,3,2,0)(1, n, n-1, \ldots, 3, 2, 0) が正則となるような数 nn をすべて求めよ。解答: 1