MathLabs

第1問

xi=i101x_i = \frac{i}{101} に対して、和 S=∑i=0101xi31−3xi+3xi2S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2} を求めよ。
ステップ 3/4: 和の順序を逆にして2つの和を足し合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

等差数列の和を求めるガウスの工夫と同様に、前から ii 番目の項と後ろから ii 番目の項をペアにすると、すべてのペアが約分されて 11 になる。

2S=∑i=0101xi3x101−i3+xi3+∑i=0101x101−i3xi3+x101−i3=∑i=0101xi3+x101−i3x101−i3+xi32S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3} + \sum_{i=0}^{101} \frac{x_{101-i}^3}{x_i^3 + x_{101-i}^3} = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3 + x_{101-i}^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3}
詳しい解説

和 S=∑i=0101xi3x101−i3+xi3S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3} において添字 ii を 101−i101 - i に置き換えると、S=∑i=0101x101−i3xi3+x101−i3S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_{101-i}^3}{x_i^3 + x_{101-i}^3} となる。これら2つの式を項別に足し合わせると、共通の分母 x101−i3+xi3x_{101-i}^3 + x_i^3 の上で分子がまとまる。