第1問

x_i = \frac{i}{101}

に対して、和

S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2}

を求めよ。

ステップ 4/4: 項数を数えて2で割る

ざっくり言うと

添字が $0$ から $101$ まで両端を含んで動くため、項数は全部で $101 - 0 + 1 = 102$ 個になり、求める和は $51$ となることに注意しよう。

2S = \sum_{i=0}^{101} 1 = 102 \implies S = 51

詳しい解説

すべての $i \in \{0, 1, \ldots, 101\}$ に対して $x_i^3 + x_{101-i}^3 > 0$ であるから、合わせた和に含まれる $102$ 個の項はすべて $1$ に等しい。したがって $2S = 102$ となり、 $S = 51$ が得られる。