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第2問

三角形の周上に沿って 99 個の円が配置されており、3つの各辺に 44 個ずつ円が並んでいる（頂点の3つの円は隣り合う辺で共有され、各辺の内部に2つずつ円がある）。このとき、1,2,…,91, 2, \ldots, 9 の数をそれぞれ1つずつこれらの円に書き込み、各円にちょうど1つの数が入るようにして、(i) 三角形の各辺上の4つの数の和がすべて等しく、(ii) 三角形の各辺上の4つの数の2乗の和もすべて等しくなるようにする。このような書き込み方をすべて求めよ。
ステップ 1/4: 各辺の和・2乗和と3つの頂点の数の関係式を立てる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

角を共有する配置では、すべての辺の和をとることで、共有されている頂点の寄与だけを辺の本数（ここでは 33）を法として取り出すことができる。

3s=a+b+c+∑k=19k=a+b+c+45,3t=a2+b2+c2+∑k=19k2=a2+b2+c2+2853s = a + b + c + \sum_{k=1}^{9} k = a + b + c + 45, \qquad 3t = a^2 + b^2 + c^2 + \sum_{k=1}^{9} k^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 285
詳しい解説

3つの頂点の円に入る数を a,b,ca, b, c とし、各辺の4つの数の共通の和を ss、それらの2乗の共通の和を tt とおく。3つの辺にわたって和をとると、1,2,…,91, 2, \ldots, 9 の各数が1回ずつと各頂点の数がもう1回ずつ足されるため、3s=a+b+c+453s = a + b + c + 45 および 3t=a2+b2+c2+2853t = a^2 + b^2 + c^2 + 285 が成り立つ。4545 と 285285 はともに 33 の倍数であるから、a+b+ca + b + c と a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 はどちらも 33 で割り切れなければならない。