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第2問

三角形の周上に沿って 99 個の円が配置されており、3つの各辺に 44 個ずつ円が並んでいる（頂点の3つの円は隣り合う辺で共有され、各辺の内部に2つずつ円がある）。このとき、1,2,…,91, 2, \ldots, 9 の数をそれぞれ1つずつこれらの円に書き込み、各円にちょうど1つの数が入るようにして、(i) 三角形の各辺上の4つの数の和がすべて等しく、(ii) 三角形の各辺上の4つの数の2乗の和もすべて等しくなるようにする。このような書き込み方をすべて求めよ。
ステップ 2/4: 法3の合同式を用いて頂点の組を3通りに絞る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

3つの頂点が 33 で割った余りを共有しなければならないと分かれば、頂点の集合は3つの剰余類 {1,4,7}\{1, 4, 7\}、{2,5,8}\{2, 5, 8\}、{3,6,9}\{3, 6, 9\} のどれか1つを使い切ることになる。

a+b+c≡0(mod3),a2+b2+c2≡0(mod3)  ⟹  {a,b,c}∈{{3,6,9},{1,4,7},{2,5,8}}a + b + c \equiv 0 \pmod{3}, \quad a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3} \implies \{a, b, c\} \in \{\{3, 6, 9\}, \{1, 4, 7\}, \{2, 5, 8\}\}
詳しい解説

任意の整数の2乗は x2≡0x^2 \equiv 0 または 1(mod3)1 \pmod{3} を満たすため、a2+b2+c2≡0(mod3)a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3} が成り立つのは a,b,ca, b, c の3つすべてが 33 の倍数であるか、あるいは1つも 33 の倍数でないかのいずれかに限られる。これと a+b+c≡0(mod3)a + b + c \equiv 0 \pmod{3} を合わせると、3つの頂点の数はすべて法 33 で合同でなければならない。各剰余類には数が3つずつしかないので、{a,b,c}∈{{3,6,9},{1,4,7},{2,5,8}}\{a, b, c\} \in \{\{3, 6, 9\}, \{1, 4, 7\}, \{2, 5, 8\}\} となる。