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第2問

三角形の周上に沿って 99 個の円が配置されており、3つの各辺に 44 個ずつ円が並んでいる（頂点の3つの円は隣り合う辺で共有され、各辺の内部に2つずつ円がある）。このとき、1,2,…,91, 2, \ldots, 9 の数をそれぞれ1つずつこれらの円に書き込み、各円にちょうど1つの数が入るようにして、(i) 三角形の各辺上の4つの数の和がすべて等しく、(ii) 三角形の各辺上の4つの数の2乗の和もすべて等しくなるようにする。このような書き込み方をすべて求めよ。
ステップ 3/4: 法4での平方数の性質から最初の2つの候補を除外する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

法 44 で平方数を調べるのは強力なふるいであり、2つの整数の2乗和が 3(mod4)3 \pmod{4} になることは決してないため、試行錯誤なしで 4747 と 6767 を即座に却下できる。

{a,b,c}={3,6,9}  ⟹  t=137, x2+y2=47≡3(mod4);{a,b,c}={1,4,7}  ⟹  t=117, x2+y2=67≡3(mod4)\{a,b,c\}=\{3,6,9\} \implies t=137,\ x^2+y^2=47 \equiv 3 \pmod{4}; \qquad \{a,b,c\}=\{1,4,7\} \implies t=117,\ x^2+y^2=67 \equiv 3 \pmod{4}
詳しい解説

{a,b,c}={3,6,9}\{a, b, c\} = \{3, 6, 9\} の場合、3t=32+62+92+285=4113t = 3^2 + 6^2 + 9^2 + 285 = 411 より t=137t = 137 となる。頂点 33 と 99 を結ぶ辺の内部の2数 x,yx, y は x2+y2=137−(32+92)=47≡3(mod4)x^2 + y^2 = 137 - (3^2 + 9^2) = 47 \equiv 3 \pmod{4} を満たさなければならないが、x2,y2≡0x^2, y^2 \equiv 0 または 1(mod4)1 \pmod{4} から x2+y2≡0,1,2(mod4)x^2 + y^2 \equiv 0, 1, 2 \pmod{4} となるため不可能である。同様に {a,b,c}={1,4,7}\{a, b, c\} = \{1, 4, 7\} の場合も、3t=12+42+72+285=3513t = 1^2 + 4^2 + 7^2 + 285 = 351 より t=117t = 117 となり、頂点 11 と 77 の間の内部の2数は x2+y2=117−(12+72)=67≡3(mod4)x^2 + y^2 = 117 - (1^2 + 7^2) = 67 \equiv 3 \pmod{4} を満たす必要があり、やはり解が存在しない。