MathLabs

第4問

n,kn, k を n>kn > k を満たす正の整数とする。このとき、1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} が成り立つことを証明せよ。
ステップ 1/4: kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k} を掛けて二項展開の項を取り出す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k} を (nk)\binom{n}{k} の隣に移すだけで、((n−k)+k)n=nn((n-k) + k)^n = n^n の二項展開における1つの項がそのまま姿を現す。

nnn+1<(nk)kk(n−k)n−k<nn\frac{n^n}{n+1} < \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} < n^n
詳しい解説

k≥1k \ge 1 かつ n−k≥1n - k \ge 1 より、kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k} は正である。与えられた連立不等式の各辺に kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k} を掛け、(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} と表すことで、元の不等式は nnn+1<(nk)kk(n−k)n−k<nn\frac{n^n}{n+1} < \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} < n^n と同値になる。