MathLabs

第4問

n,kn, k を n>kn > k を満たす正の整数とする。このとき、1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} が成り立つことを証明せよ。
ステップ 2/4: 二項定理で nnn^n を展開して上界を示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正の数の和において、そのうちの1つの項だけが全体の和より小さくなるのは自然なことである。

nn=((n−k)+k)n=∑i=0n(ni)(n−k)n−iki=∑i=0nTi+1>Tk+1n^n = ((n-k) + k)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (n-k)^{n-i} k^i = \sum_{i=0}^{n} T_{i+1} > T_{k+1}
詳しい解説

二項定理により、Ti+1=(ni)(n−k)n−ikiT_{i+1} = \binom{n}{i} (n-k)^{n-i} k^i（0≤i≤n0 \le i \le n）とおくと nn=((n−k)+k)n=∑i=0nTi+1n^n = ((n-k) + k)^n = \sum_{i=0}^{n} T_{i+1} が成り立つ。n>k≥1n > k \ge 1 であるから、各項 Ti+1T_{i+1} はすべて真に正であり、和には n+1≥3n + 1 \ge 3 個の項がある。特にそのうちの1項である Tk+1=(nk)kk(n−k)n−kT_{k+1} = \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} は全体の和 nnn^n より真に小さく、右側の不等式が従う。