MathLabs

第4問

n,kn, k を n>kn > k を満たす正の整数とする。このとき、1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} が成り立つことを証明せよ。
ステップ 3/4: 隣り合う項の比を調べて Tk+1T_{k+1} が最大項であることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ii が増えるにつれて (ni)\binom{n}{i} は (n−i+1)(n-i+1) を ii に置き換え、(n−k)n−iki(n-k)^{n-i} k^i は (n−k)(n-k) を kk に置き換える。増減が入れ替わる境目はちょうど in−i+1\frac{i}{n-i+1} が kn−k\frac{k}{n-k} を超える瞬間、すなわち i=ki = k の直後である。

Ti+1Ti=(ni)(n−k)n−iki(ni−1)(n−k)n−i+1ki−1=(n−i+1)ki(n−k),Ti+1Ti>1  ⟺  i≤k\frac{T_{i+1}}{T_i} = \frac{\binom{n}{i}(n-k)^{n-i}k^i}{\binom{n}{i-1}(n-k)^{n-i+1}k^{i-1}} = \frac{(n-i+1)k}{i(n-k)}, \qquad \frac{T_{i+1}}{T_i} > 1 \iff i \le k
詳しい解説

1≤i≤n1 \le i \le n に対して、隣り合う項の比は Ti+1Ti=(n−i+1)ki(n−k)\frac{T_{i+1}}{T_i} = \frac{(n-i+1)k}{i(n-k)} となる。したがって Ti+1Ti>1  ⟺  (n−i+1)k>i(n−k)  ⟺  (n+1)k>in  ⟺  i<k+kn\frac{T_{i+1}}{T_i} > 1 \iff (n-i+1)k > i(n-k) \iff (n+1)k > in \iff i < k + \frac{k}{n} である。0<kn<10 < \frac{k}{n} < 1 であり ii は整数であるから、i<k+kni < k + \frac{k}{n} は i≤ki \le k と同値である（また等号 Ti+1Ti=1\frac{T_{i+1}}{T_i} = 1 は決して成り立たない）。ゆえに T1<T2<⋯<Tk+1>Tk+2>⋯>Tn+1T_1 < T_2 < \cdots < T_{k+1} > T_{k+2} > \cdots > T_{n+1} となる。