MathLabs

第4問

n,kn, k を n>kn > k を満たす正の整数とする。このとき、1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} が成り立つことを証明せよ。
ステップ 4/4: 最大項を全 n + 1 項の平均値で下から評価する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

すべてが等しいわけではない n+1n + 1 個の数において、最大の数は常にそれらの平均値より真に大きい。

Tk+1=max⁡1≤j≤n+1Tj>1n+1∑j=1n+1Tj=nnn+1T_{k+1} = \max_{1 \le j \le n+1} T_j > \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} T_j = \frac{n^n}{n+1}
詳しい解説

Tk+1=(nk)kk(n−k)n−kT_{k+1} = \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} は n+1n + 1 個の項 T1,T2,…,Tn+1T_1, T_2, \ldots, T_{n+1} の中で他のどの項よりも真に大きいため、(n+1)Tk+1>∑j=1n+1Tj=nn(n+1) T_{k+1} > \sum_{j=1}^{n+1} T_j = n^n が成り立つ。両辺を n+1n + 1 で割ることで (nk)kk(n−k)n−k>nnn+1\binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} > \frac{n^n}{n+1} が得られ、左側の不等式も証明された。