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第2問

33 の倍数である {1,2,…,N}\{1,2,\dots,N\} の整数の個数が、55 または 77（または両方）の倍数である整数の個数に等しくなるような、最大の正整数 NN を求めよ。
ステップ 4/6: 69 以上の N を排除する
前のステップ次のステップ
D(N+105)=D(N)+2,min⁡69≤N≤173D(N)=1  ⟹  D(N)>0 for all N≥69.D(N+105)=D(N)+2,\qquad \min_{69\le N\le173}D(N)=1\implies D(N)>0\text{ for all }N\ge69.
詳しい解説

床関数の式は定数分だけずれる周期 105 を持つ。すなわち D(N+105)=D(N)+2D(N+105)=D(N)+2 である。69≤N≤17369\le N\le173 の有限個を直接調べると min⁡D(N)=1\min D(N)=1。105 を加えるたびに D は 2 増えるので、全ての N≥69N\ge69 で D(N)>0D(N)>0、従って解は N<69N<69 を満たす。