アジア太平洋数学オリンピック · 2001年

問題

第1問正整数 n に対し、S(n) を n の十進表示の各桁の和とする。n の右端から少なくとも1桁を取り除いて得られる正整数を n の切り株と呼ぶ。すべての切り株の和を T(n) とする。n=S(n)+9T(n) を証明せよ。解答: 1
第2問 $3$ の倍数である $\{1,2,\dots,N\}$ の整数の個数が、 $5$ または $7$ （または両方）の倍数である整数の個数に等しくなるような、最大の正整数 $N$ を求めよ。解答: 1
第3問平面上に二つの合同な正 $n$ 角形 $S$ と $T$ があり、その共通部分が $2n$ 角形（ $n \ge 3$ ）であるとする。 $S$ の辺を赤、 $T$ の辺を青で塗る。 $S\cap T$ の青い辺の長さの総和が赤い辺の長さの総和に等しいことを証明せよ。解答: 1
第4問直交座標平面の点を、一方の座標が有理数でもう一方が無理数のとき混合点と呼ぶ。グラフが混合点を含まない実係数多項式をすべて求めよ。解答: 1
第5問 $AB\ne CD$ を満たす平面上の $n+4$ 個の点 $A,B,C,D,X_1,\dots,X_n$ で、各 $i=1,2,\dots,n$ について三角形 $ABX_i$ と $CDX_i$ が合同となるような最大の整数 $n$ を求めよ。解答: 1