第3問

平面上に二つの合同な正

n

角形

S

と

T

があり、その共通部分が

2n

角形（

n \ge 3

）であるとする。

S

の辺を赤、

T

の辺を青で塗る。

S\cap T

の青い辺の長さの総和が赤い辺の長さの総和に等しいことを証明せよ。

ステップ 2/6: 2つの境界長の和を定める

x:=\sum_{i=1}^{n}p_i,\qquad y:=\sum_{i=1}^{n}q_i,\qquad a:=\text{the side length of }S

詳しい解説

$p_i$ を $S$ の第 $i$ 頂点に対応する共通部分の青い辺、 $q_i$ を対応する $T$ の頂点に対応する赤い辺とする。従って $x$ は青い辺の総長、 $y$ は赤い辺の総長である。共通部分の周長 $x+y$ は元の各多角形の周長 $na$ より真に小さい。