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第3問

平面上に二つの合同な正 nn 角形 SS と TT があり、その共通部分が 2n2n 角形(n≥3n \ge 3)であるとする。SS の辺を赤、TT の辺を青で塗る。S∩TS\cap T の青い辺の長さの総和が赤い辺の長さの総和に等しいことを証明せよ。
ステップ 4/6: 等しい周長を比較する
(h+k)x+y=(h+k)y+x  ⟹  (h+k−1)x=(h+k−1)y(h+k)x+y=(h+k)y+x\implies (h+k-1)x=(h+k-1)y
詳しい解説

SS の各辺では、隣接する角の三角形部分の長さがそれぞれ kpikp_i と hpi+1hp_{i+1} で、間の赤い境界部分は qiq_i である。全てを足すと per⁡(S)=(h+k)x+y\operatorname{per}(S)=(h+k)x+y。同様に per⁡(T)=(h+k)y+x\operatorname{per}(T)=(h+k)y+x である。SS と TT は合同なので周長が等しく、表示の関係を得る。