第1問

a_1,a_2,\dots,a_n

を非負整数列とし、

A_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n

とおく。

a\ge1

に対して

a!=1\cdot2\cdots a

、

0!=1

とする。

a_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n

を証明し、等号成立条件を求めよ。

ステップ 1/6: 並べ替えて床を取る

s=\lfloor A_n\rfloor,\qquad a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n.

詳しい解説

並べ替えても積は変わらない。平均の床を s とし、端点の場合を除いて $a_k\ge s\ge a_{k+1}$ となる k を取る。