MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2002年

問題

  1. 第1問a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n を非負整数列とし、An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n とおく。a≥1a\ge1 に対して a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a、0!=10!=1 とする。a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n を証明し、等号成立条件を求めよ。解答: 1
  2. 第2問a2+bb2−a\frac{a^2+b}{b^2-a} と b2+aa2−b\frac{b^2+a}{a^2-b} がともに整数となる正整数 a,ba,b をすべて求めよ。解答: 1
  3. 第3問ABCABC を正三角形とする。PP を ACAC 上、QQ を ABAB 上の点で、三角形 ABPABP と ACQACQ がともに鋭角三角形となるものとする。それぞれ三角形 ABPABP と ACQACQ の垂心を RR と SS とし、線分 BPBP と CQCQ の共通点を TT とする。三角形 TRSTRS が正三角形となるときの ∠CBP\angle CBP と ∠BCQ\angle BCQ の可能な値をすべて求めよ。解答: 1
  4. 第4問正数 x,y,zx,y,z が 1x+1y+1z=1\frac1x+\frac1y+\frac1z=1 を満たすとする。x+yz+y+zx+z+xy≥xyz+x+y+z\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} を示せ。解答: 1
  5. 第5問R\mathbb R を実数全体とする。(i) f(s)=0f(s)=0 を満たす s∈Rs\in\mathbb R が有限個で、(ii) すべての x,y∈Rx,y\in\mathbb R に対し f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y)) となる関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R を求めよ。解答: 1