MathLabs

第1問

a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n を非負整数列とし、An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n とおく。a≥1a\ge1 に対して a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a、0!=10!=1 とする。a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 3/6: s の周りに書き直す
前のステップ次のステップ
∏i=1nai!(s!)n=∏i=1k∏j=1ai−s(s+j)∏i=k+1n∏j=0s−ai−1(s−j).\frac{\prod_{i=1}^{n}a_i!}{(s!)^n}=\frac{\prod_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{a_i-s}(s+j)}{\prod_{i=k+1}^{n}\prod_{j=0}^{s-a_i-1}(s-j)}.
詳しい解説

各階乗を s! と s より上または下の因子に分解する。分子には A 個の因子があり各々 s+1 以上、分母には B 個の因子があり各々 s 以下である。