第1問

a_1,a_2,\dots,a_n

を非負整数列とし、

A_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n

とおく。

a\ge1

に対して

a!=1\cdot2\cdots a

、

0!=1

とする。

a_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n

を証明し、等号成立条件を求めよ。

ステップ 4/6: 不等式を証明する

A\ge B\implies\prod_{i=1}^{n}a_i!\ge(s!)^n.

詳しい解説

$B$ 個を分子から分母と相殺すると、残る分子因子は全て 1 以上なので不等式が得られる。等号については別に考える。 $s>0$ かつ $A>B$ なら残る因子の少なくとも一つは 1 より大きい。一方 $s=0$ では全因子が 1 になり得るので、次の段階で扱う。