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アジア太平洋数学オリンピック
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2002年
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第1問
第1問
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
a_1,a_2,\dots,a_n
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
を非負整数列とし、
A
n
=
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
)
/
n
A_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n
A
n
=
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
)
/
n
とおく。
a
≥
1
a\ge1
a
≥
1
に対して
a
!
=
1
⋅
2
⋯
a
a!=1\cdot2\cdots a
a
!
=
1
⋅
2
⋯
a
、
0
!
=
1
0!=1
0
!
=
1
とする。
a
1
!
a
2
!
⋯
a
n
!
≥
(
⌊
A
n
⌋
!
)
n
a_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n
a
1
!
a
2
!
⋯
a
n
!
≥
(⌊
A
n
⌋!
)
n
を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 5/6: 第一の等号条件
前のステップ
次のステップ
A
=
B
=
0
⟺
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
.
A=B=0\iff a_1=a_2=\cdots=a_n.
A
=
B
=
0
⟺
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
.
詳しい解説
s より上または下の因子がなければ全項が s であり、全て等しい。逆も明らかである。
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