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アジア太平洋数学オリンピック
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2002年
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第2問
第2問
a
2
+
b
b
2
−
a
\frac{a^2+b}{b^2-a}
b
2
−
a
a
2
+
b
と
b
2
+
a
a
2
−
b
\frac{b^2+a}{a^2-b}
a
2
−
b
b
2
+
a
がともに整数となる正整数
a
,
b
a,b
a
,
b
をすべて求めよ。
ステップ 3/7: 二つの場合に絞る
前のステップ
次のステップ
b
2
+
a
a
2
−
b
∈
Z
>
0
⟹
b
2
+
a
≥
a
2
−
b
⟹
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
≤
a
+
b
⟹
a
−
b
≤
1.
\frac{b^2+a}{a^2-b}\in\mathbb Z_{>0}\implies b^2+a\ge a^2-b\implies (a-b)(a+b)\le a+b\implies a-b\le1.
a
2
−
b
b
2
+
a
∈
Z
>
0
⟹
b
2
+
a
≥
a
2
−
b
⟹
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
≤
a
+
b
⟹
a
−
b
≤
1.
詳しい解説
第二分母は正である。商は正の整数なので分子は分母以上である。得られた不等式を因数分解し a+b>0 を使うと a-b が 1 以下となる。
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