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アジア太平洋数学オリンピック
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2002年
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第2問
第2問
a
2
+
b
b
2
−
a
\frac{a^2+b}{b^2-a}
b
2
−
a
a
2
+
b
と
b
2
+
a
a
2
−
b
\frac{b^2+a}{a^2-b}
a
2
−
b
b
2
+
a
がともに整数となる正整数
a
,
b
a,b
a
,
b
をすべて求めよ。
ステップ 4/7: a=b の場合
前のステップ
次のステップ
a
=
b
:
a
2
+
a
a
2
−
a
=
a
+
1
a
−
1
∈
Z
⟹
a
−
1
∣
2
⟹
a
=
2
,
3.
a=b:\quad\frac{a^2+a}{a^2-a}=\frac{a+1}{a-1}\in\mathbb Z\implies a-1\mid2\implies a=2,3.
a
=
b
:
a
2
−
a
a
2
+
a
=
a
−
1
a
+
1
∈
Z
⟹
a
−
1
∣
2
⟹
a
=
2
,
3.
詳しい解説
a=b では第一分数は a>1 のとき正で、1+2/(a-1) に等しい。従って a=2 または 3。
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