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第3問

ABCABC を正三角形とする。PP を ACAC 上、QQ を ABAB 上の点で、三角形 ABPABP と ACQACQ がともに鋭角三角形となるものとする。それぞれ三角形 ABPABP と ACQACQ の垂心を RR と SS とし、線分 BPBP と CQCQ の共通点を TT とする。三角形 TRSTRS が正三角形となるときの ∠CBP\angle CBP と ∠BCQ\angle BCQ の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 2/8: 比較補題を示す
α>β  ⟹  RT>ST.\alpha>\beta\implies RT>ST.
詳しい解説

正三角形の三本の高さの交点を G とする。P,Q は対応する高さ上にあり、T は中心三角形の適切な部分に入る。公式解答のように R,S を A を通る高さと BC に射影する。等しい高さから alpha>beta なら GS<GR が得られ、二つの射影不等式より RT>ST となる。