MathLabs

第3問

ABCABC を正三角形とする。PP を ACAC 上、QQ を ABAB 上の点で、三角形 ABPABP と ACQACQ がともに鋭角三角形となるものとする。それぞれ三角形 ABPABP と ACQACQ の垂心を RR と SS とし、線分 BPBP と CQCQ の共通点を TT とする。三角形 TRSTRS が正三角形となるときの ∠CBP\angle CBP と ∠BCQ\angle BCQ の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 3/8: 対称な補題を適用する
前のステップ次のステップ
α>β  ⟹  RT>ST,β>α  ⟹  ST>RT.\alpha>\beta\implies RT>ST,\qquad\beta>\alpha\implies ST>RT.
詳しい解説

二辺の役割を交換すると第二の含意を得る。TRS が正三角形なら RT=ST なので、どちらの厳密不等式も起こらず alpha=beta である。