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第3問

ABCABC を正三角形とする。PP を ACAC 上、QQ を ABAB 上の点で、三角形 ABPABP と ACQACQ がともに鋭角三角形となるものとする。それぞれ三角形 ABPABP と ACQACQ の垂心を RR と SS とし、線分 BPBP と CQCQ の共通点を TT とする。三角形 TRSTRS が正三角形となるときの ∠CBP\angle CBP と ∠BCQ\angle BCQ の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 5/8: 正三角形条件を変換する
前のステップ次のステップ
∠RTA=30∘  ⟺  T,B,R,A are concyclic.\angle RTA=30^\circ\iff T,B,R,A\text{ are concyclic}.
詳しい解説

公式解答は B を通る高さと ABC の正三角形性を用いる。角追いにより 60 度条件は angle RTA=30 度と同値であり、これは T,B,R,A が同一円周上にあることと同値になる。