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アジア太平洋数学オリンピック
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2002年
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第4問
第4問
正数
x
,
y
,
z
x,y,z
x
,
y
,
z
が
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
\frac1x+\frac1y+\frac1z=1
x
1
+
y
1
+
z
1
=
1
を満たすとする。
x
+
y
z
+
y
+
z
x
+
z
+
x
y
≥
x
y
z
+
x
+
y
+
z
\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}
x
+
y
z
+
y
+
z
x
+
z
+
x
y
≥
x
y
z
+
x
+
y
+
z
を示せ。
ステップ 5/8: 各ペアの評価を示す
前のステップ
次のステップ
(
x
+
y
z
)
(
y
+
z
x
)
−
x
y
(
1
+
z
)
2
=
z
(
x
−
y
)
2
≥
0.
(x+yz)(y+zx)-xy(1+z)^2=z(x-y)^2\ge0.
(
x
+
y
z
)
(
y
+
z
x
)
−
x
y
(
1
+
z
)
2
=
z
(
x
−
y
)
2
≥
0.
詳しい解説
差を展開すると表示された平方になるので、非負性から対応する平方根の不等式が得られる。
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