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アジア太平洋数学オリンピック
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2002年
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第4問
第4問
正数
x
,
y
,
z
x,y,z
x
,
y
,
z
が
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
\frac1x+\frac1y+\frac1z=1
x
1
+
y
1
+
z
1
=
1
を満たすとする。
x
+
y
z
+
y
+
z
x
+
z
+
x
y
≥
x
y
z
+
x
+
y
+
z
\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}
x
+
y
z
+
y
+
z
x
+
z
+
x
y
≥
x
y
z
+
x
+
y
+
z
を示せ。
ステップ 8/8: 結論
前のステップ
次のステップ
L
2
−
R
2
≥
0
⟹
L
≥
R
.
L^2-R^2\ge0\implies L\ge R.
L
2
−
R
2
≥
0
⟹
L
≥
R
.
詳しい解説
L^2 と R^2 の交差しない項は xy+yz+zx=xyz により一致する。和を取った評価が全交差項を処理するので L^2 は R^2 以上となる。等号は x=y=z=3 で成立する。
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