第5問

\mathbb R

を実数全体とする。(i)

f(s)=0

を満たす

s\in\mathbb R

が有限個で、(ii) すべての

x,y\in\mathbb R

に対し

f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))

となる関数

f:\mathbb R\to\mathbb R

を求めよ。

ステップ 2/3: 加法性を示す

前のステップ次のステップ

f(x^4+y)=f(x^4)+f(y)

詳しい解説

$f(f(y))=f(y)$ を代入すると $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y)$ 。 $y=0$ で $f(x^4)=x^3f(x)$ 、従って $u=x^4\ge0$ のとき $f(u+v)=f(u)+f(v)$ 。同じ式で $x$ と $-x$ を比較すれば $x\ne0$ で $f(-x)=-f(x)$ 、よって全実数の $u,v$ に加法性が拡張される。