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第5問

R\mathbb R を実数全体とする。(i) f(s)=0f(s)=0 を満たす s∈Rs\in\mathbb R が有限個で、(ii) すべての x,y∈Rx,y\in\mathbb R に対し f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y)) となる関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R を求めよ。
ステップ 3/3: 有限個の零点を使って結論する
前のステップ次のステップ
Z={s∈R:f(s)=0}={0}  ⟹  f injectiveZ=\{s\in\mathbb R:f(s)=0\}=\{0\}\implies f\text{ injective}
詳しい解説

h≠0h\ne0 かつ f(h)=0f(h)=0 なら、加法性からすべての正整数 nn で f(nh)=0f(nh)=0 となり有限性に反する。従って零点集合は Z={0}Z=\{0\} である。また f(a)=f(b)f(a)=f(b) なら f(a−b)=0f(a-b)=0 なので ff は単射。f(f(x))=f(x)f(f(x))=f(x) と単射性から f(x)=xf(x)=x を得る。恒等関数は直接代入で確かめられる。