MathLabs

第1問

p(x)=x8−4x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fp(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f が ri>0r_i>0 (i=1,2,…,8i=1,2,\ldots,8) を満たす8個の一次因子 x−rix-r_i に分解されるとする。ff の取り得る値をすべて求めよ。
ステップ 1/4: ヴィエタの公式を適用する
∑i=18ri=4,∑1≤i<j≤8rirj=7\sum_{i=1}^8 r_i=4,\qquad \sum_{1\le i<j\le8}r_ir_j=7
詳しい解説

根を r1,…,r8r_1,\ldots,r_8 と書く。x7x^7 と x6x^6 の係数を比較すると、∑i=18ri=4\sum_{i=1}^8 r_i=4 および ∑1≤i<j≤8rirj=7\sum_{1\le i<j\le8}r_ir_j=7 を得る。