MathLabs

第1問

p(x)=x8−4x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fp(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f が ri>0r_i>0 (i=1,2,…,8i=1,2,\ldots,8) を満たす8個の一次因子 x−rix-r_i に分解されるとする。ff の取り得る値をすべて求めよ。
ステップ 3/4: 非負の二乗和が消える
∑i=18(2ri−1)2=4∑ri2−4∑ri+8=8−16+8=0\sum_{i=1}^8(2r_i-1)^2=4\sum r_i^2-4\sum r_i+8=8-16+8=0
詳しい解説

2つの和を使うと ∑i=18(2ri−1)2=4⋅2−4⋅4+8=0\sum_{i=1}^8(2r_i-1)^2=4\cdot2-4\cdot4+8=0。根は実数なので各項は非負であり、すべての ii で 2ri−1=02r_i-1=0、従って ri=1/2r_i=1/2 である。