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第2問

ABCDABCD を一辺 aa の正方形とする。平面上の平行線 ℓ1\ell_1 と ℓ2\ell_2 は距離 aa だけ離れている。正方形を、ABAB と ADAD が ℓ1\ell_1 とそれぞれ EE と FF で交わり、CBCB と CDCD が ℓ2\ell_2 とそれぞれ GG と HH で交わるように置く。△AEF\triangle AEF と △CGH\triangle CGH の周長を m1m_1 と m2m_2 とするとき、置き方によらず m1+m2m_1+m_2 が一定であることを証明せよ。
ステップ 2/4: 4つの接点を用いる
前のステップ次のステップ
OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥CD,OQ⊥DA,MP=NQ=aOM\perp AB,\quad ON\perp BC,\quad OP\perp CD,\quad OQ\perp DA,\qquad MP=NQ=a
詳しい解説

OO を中心とする2つの傍接円を描き、AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA との接点をそれぞれ M,N,P,QM,N,P,Q とする。正方形の対辺は平行なので M,O,PM,O,P は一直線上、N,O,QN,O,Q も一直線上にある。平行な辺の距離は辺長だから MP=NQ=aMP=NQ=a である。