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第3問

k≥14k\ge14 を整数とし、pkp_k を kk より真に小さい最大の素数とする。pk≥3k/4p_k\ge3k/4 を仮定してよい。nn を合成数とする。(a) n=2pkn=2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切らず、(b) n>2pkn>2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切ることを証明せよ。
ステップ 1/5: 境界の場合 n=2pk を扱う
前のステップ次のステップ
n=2pk  ⟹  n−k=2pk−k<pkn=2p_k\implies n-k=2p_k-k<p_k
詳しい解説

pk<kp_k<k なので n−k=2pk−k<2pk−pk=pkn-k=2p_k-k<2p_k-p_k=p_k。従って (n−k)!(n-k)! には素数 pkp_k の倍数がなく、pkp_k で割り切れないため、n=2pkn=2p_k でも割り切れない。