MathLabs

第3問

k≥14k\ge14 を整数とし、pkp_k を kk より真に小さい最大の素数とする。pk≥3k/4p_k\ge3k/4 を仮定してよい。nn を合成数とする。(a) n=2pkn=2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切らず、(b) n>2pkn>2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切ることを証明せよ。
ステップ 2/5: 階乗の上限を評価する
前のステップ次のステップ
n>2pk≥3k/2  ⟹  k≤2n/3  ⟹  n−k≥n/3n>2p_k\ge3k/2\implies k\le2n/3\implies n-k\ge n/3
詳しい解説

n>2pkn>2p_k と pk≥3k/4p_k\ge3k/4 から n>3k/2n>3k/2、従って k<2n/3k<2n/3 および n−k>n/3n-k>n/3 を得る。また k≥14k\ge14 より pk≥13p_k\ge13 なので n>26n>26 である。