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第3問

k≥14k\ge14 を整数とし、pkp_k を kk より真に小さい最大の素数とする。pk≥3k/4p_k\ge3k/4 を仮定してよい。nn を合成数とする。(a) n=2pkn=2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切らず、(b) n>2pkn>2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切ることを証明せよ。
ステップ 3/5: 2のべきの場合
前のステップ次のステップ
n=2t (t≥5):n=4⋅2t−2,4,2t−2<n/3n=2^t\ (t\ge5):\qquad n=4\cdot2^{t-2},\qquad 4,2^{t-2}<n/3
詳しい解説

n=2tn=2^t なら n>26n>26 から t≥5t\ge5。異なる因子 44 と 2t−22^{t-2} の積は nn で、最小の n=32n=32 を含め両者は n/3n/3 以下である。従って両方が (n−k)!(n-k)! に別々に現れ、nn はその階乗を割り切る。