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第3問

k≥14k\ge14 を整数とし、pkp_k を kk より真に小さい最大の素数とする。pk≥3k/4p_k\ge3k/4 を仮定してよい。nn を合成数とする。(a) n=2pkn=2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切らず、(b) n>2pkn>2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切ることを証明せよ。
ステップ 5/5: 例外的な因子の場合を終える
b=2: n=2a, a≥k, n−k≥a;b=a: n=a2, n−k>n/3≥2ab=2:\ n=2a,\ a\ge k,\ n-k\ge a;\qquad b=a:\ n=a^2,\ n-k>n/3\ge2a
詳しい解説

なら 、従って 。素数 は より大きく、 未満の最大素数が であることから 。よって であり、因子 が階乗に現れる。 なら 、 より 。従って で、 が現れる。その積は なので、 に必要な2つの が得られる。 b<3b<3 b=2b=2 n=2a>2pkn=2a>2p_k aa pkp_k pkp_k kk a≥ka\ge k n−k=2a−k≥an-k=2a-k\ge a 22 aa b=ab=a n=a2n=a^2 a≥6a\ge6 n>26n>26 n−k>n/3=a2/3≥2an-k>n/3=a^2/3\ge2a aa 2a2a 2a22a^2 aa a2∣(n−k)!a^2\mid(n-k)!