第4問

a+b+c=1

を満たす三角形の辺長を

a,b,c

とし、

n\ge2

を整数とする。

\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2

を証明せよ。

ステップ 1/5: 辺を順序付けて最大辺を評価する

a\ge b\ge c,\qquad a<b+c,\qquad a+b+c=1\implies b\le a<\frac12

詳しい解説

辺の名前を変えて $a\ge b\ge c$ とする。三角不等式より $a<b+c$ 。 $a+b+c=1$ だから $2a<1$ 、従って $b\le a<1/2$ である。