MathLabs

第4問

a+b+c=1a+b+c=1 を満たす三角形の辺長を a,b,ca,b,c とし、n≥2n\ge2 を整数とする。an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2 を証明せよ。
ステップ 2/5: 最大の2辺の組を評価する
前のステップ次のステップ
an+bnn<2ann=21/na<21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}<\sqrt[n]{2a^n}=2^{1/n}a<\frac{2^{1/n}}2
詳しい解説

a,b>0a,b>0 かつ b≤a<1/2b\le a<1/2 なので an+bn≤2ana^n+b^n\le2a^n。従って an+bnn≤21/na<21/n/2\sqrt[n]{a^n+b^n}\le2^{1/n}a<2^{1/n}/2 である。