MathLabs

第4問

a+b+c=1a+b+c=1 を満たす三角形の辺長を a,b,ca,b,c とし、n≥2n\ge2 を整数とする。an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2 を証明せよ。
ステップ 3/5: を含む組を評価する
前のステップ次のステップ
(b+c/2)n>bn+cn  ⟹  bn+cnn<b+c/2(b+c/2)^n>b^n+c^n\implies\sqrt[n]{b^n+c^n}<b+c/2
詳しい解説

b≥c>0b\ge c>0 かつ n≥2n\ge2 なので t=c/b∈(0,1]t=c/b\in(0,1] とおく。二項展開の最初の追加項は nt/2≥tnnt/2\ge t^n で、残りの項も正だから (1+t/2)n>1+tn(1+t/2)^n>1+t^n である。bnb^n を掛けると (b+c/2)n>bn+cn(b+c/2)^n>b^n+c^n、従って nn 乗根を取れば bn+cnn<b+c/2\sqrt[n]{b^n+c^n}<b+c/2 を得る。