MathLabs

第4問

a+b+c=1a+b+c=1 を満たす三角形の辺長を a,b,ca,b,c とし、n≥2n\ge2 を整数とする。an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2 を証明せよ。
ステップ 4/5: を含む組を評価する
前のステップ次のステップ
(c+a/2)n>cn+an  ⟹  cn+ann<a+c/2(c+a/2)^n>c^n+a^n\implies\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+c/2
詳しい解説

同じ評価を組 (a,c)(a,c) に適用する。a≥c>0a\ge c>0 なので (c+a/2)n>cn+an(c+a/2)^n>c^n+a^n、従って cn+ann<a+c/2\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+c/2 である。