MathLabs

第4問

a+b+c=1a+b+c=1 を満たす三角形の辺長を a,b,ca,b,c とし、n≥2n\ge2 を整数とする。an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2 を証明せよ。
ステップ 5/5: 評価を加える
前のステップ次のステップ
bn+cnn+cn+ann<b+c/2+a+c/2=1\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<b+c/2+a+c/2=1
詳しい解説

最後の2つの不等式を加えると bn+cnn+cn+ann<a+b+c=1\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+b+c=1。これと第1項の厳密な評価を合わせれば示すべき不等式を得る。