MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2004年

問題

  1. 第1問すべての i,j∈Si,j\in S に対して i+jgcd⁡(i,j)∈S\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S を満たす、正整数の有限非空集合 SS をすべて求めよ。解答: 1
  2. 第2問鋭角三角形 ABCABC の外心を OO、垂心を HH とする。△AOH\triangle AOH、△BOH\triangle BOH、△COH\triangle COH のいずれか1つの面積が他の2つの面積の和に等しいことを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問平面上に、どの3点も一直線上にない2004点の集合 S があり、S の2点で定まるすべての直線の集合を L とする。直線が2点を分離するとは、2点がその直線の反対側にあり、どちらも直線上にないこととする。S を高々2色で彩色し、2点が同色であることと、それらを分離する L の直線の本数が奇数であることが同値となるようにできることを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問実数 x に対し floor(x) を x 以下の最大の整数とする。任意の正整数 n について、floor((n-1)! を n(n+1) で割った数) が偶数であることを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問正の実数 a,b,c に対して、(a の2乗+2)(b の2乗+2)(c の2乗+2) が 9(ab+bc+ca) 以上であることを証明せよ。解答: 1