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第1問

すべての i,j∈Si,j\in S に対して i+jgcd⁡(i,j)∈S\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S を満たす、正整数の有限非空集合 SS をすべて求めよ。
ステップ 2/4: 奇数元を排除する
前のステップ次のステップ
k odd and maximal  ⟹  k+2gcd⁡(k,2)=k+2>kk\text{ odd and maximal}\implies\frac{k+2}{\gcd(k,2)}=k+2>k
詳しい解説

奇数元があるとし、kk を SS の最大の奇数元とする。2∈S2\in S かつ gcd⁡(k,2)=1\gcd(k,2)=1 なので、閉性から (k+2)/gcd⁡(k,2)=k+2∈S(k+2)/\gcd(k,2)=k+2\in S、これは最大性に矛盾する。従って SS の全元は偶数である。