第1問

すべての

i,j\in S

に対して

\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S

を満たす、正整数の有限非空集合

S

をすべて求めよ。

ステップ 3/4: 2より大きい第2の元を排除する

前のステップ次のステップ

\ell>2\text{ second-smallest}\implies\frac{\ell+2}{\gcd(\ell,2)}=\frac{\ell}{2}+1<\ell

詳しい解説

$2$ 以外の元があるとし、 $\ell>2$ を第2最小元とする。ℓ は偶数なので、 $i=\ell,j=2$ とすると $(\ell+2)/\gcd(\ell,2)=\ell/2+1$ を得る。 $\ell>2$ ならこれは $2$ と $\ell$ の間にあり、 $\ell$ の選び方に矛盾する。