MathLabs

第3問

平面上に、どの3点も一直線上にない2004点の集合 S があり、S の2点で定まるすべての直線の集合を L とする。直線が2点を分離するとは、2点がその直線の反対側にあり、どちらも直線上にないこととする。S を高々2色で彩色し、2点が同色であることと、それらを分離する L の直線の本数が奇数であることが同値となるようにできることを証明せよ。
ステップ 2/5: 3点の偶奇性の恒等式に帰着する
n(p,q)+n(p,r)+n(q,r)≡1(mod2)n(p,q)+n(p,r)+n(q,r)\equiv 1\pmod 2
詳しい解説

この彩色では q,r が同色であることは n(p,q)+n(p,r) が偶数であることと同値である。したがって、相異なる p,q,r について n(p,q)+n(p,r)+n(q,r) が奇数であることを示せばよい。