第4問
実数 x に対し floor(x) を x 以下の最大の整数とする。任意の正整数 n について、floor((n-1)! を n(n+1) で割った数) が偶数であることを証明せよ。
詳しい解説
q=n+1 を奇素数とする。すると n=q-1 は偶数かつ合成数である（小さい q=3 は既に扱った）。n は (n-1)!+n を割り切り、ウィルソンの定理から n!=(q-1)! は q を法として -1 に合同なので、(n-1)!+n は n と q の両方で割り切れ、従って n(n+1) で割り切れる。K=((n-1)!+n)/(n(n+1)) と置く。n≥6 では階乗の2の指数は n より厳密に大きいので ((n-1)!+n)/n は奇数、q も奇数だから K は奇数である。問題の商は K-1/(n+1) であり、その floor は K-1、偶数となる。